Өмнөх – Олон гишүүнтийн түүх (2-р хэсэг)

• Азгүй Галуа

“5-с дээш зэргийн олон гишүүнтийн хариунд ерөнхий томъёо оршин байхгүй” болох нь Абелийн гараар тийнхүү батлагдав. Гэвч, энд хэлэх “ерөнхий томъёо оршин байхгүй” гэж буй нь, нэг ёсондоо ямар ч хэлбэрийн дурын 5 зэргийн олон гишүүнт байсан ч ашиглаж болохоор тийм төгс томъёо гэдэг утгаар юм. Үүнийг эсрэгээр нь хэлэх юм бол, 5-с дээш зэргийн олон гишүүнт бүгд бодох боломжгүй гэсэн үг бус, хэлбэрээсээ хамаараад зарим төрлийн тэгшитгэлд томъёо байж ч болно оо гэсэн үг.

Жишээ нь:


гэсэн энгийн хэлбэртэй тэгшитгэлийг бодоод үзэхэд л, хэдий 5 зэргийн олон гишүүнт ч гэлээ бодох боломжтой (томъёо оршин байна) гэдэг нь хэнд ч хялбар төсөөлөгдөх болов уу.

Тийм бол, олон гишүүнт гээч юм ямар үедээ томъёотой байгаад, ямар үедээ томъёогүй болчихдог юм бол? Мөн томъёо байлаа гэхэд тэр нь ямархуу юм байх бол? Энэ бүгдийг ил болгож өгсөн хүн бол, 20 дөнгөж шүргэж явсан Галуа (Galois) хэмээх идэр залуу байлаа.

Гэвч, Галуа ч бас Абелийн адилаар эмгэнэлт амьдралаар амьдраад өнгөрсөн гэдэг...

1811 онд Парисын ойролцоо төрсөн Галуа бол, эцэг нь улсын сургуулийн захирал, эх нь Парисын их сургуулийн профессор гэх боловсролоор бөмбөгдүүлсэн айлын хүү болон өсч, гэгээлэг чинээлэг хүүхэд насыг үджээ. Тэрхүү Галуагийн амьдрал огцом савлаж орхисон нь, түүний 16 настайдаа олж уншсан нэгэн ном байв.

Лежендрэ (Legendre) хэмээх математикчийн бичсэн “Геометрын үндэс” гэдэг ном байж. Галуа тэр номонд ховсдуулан татагдаж, юу юугүй математикт олзлогдож орхих нь тэр. Тэр нь, түнээс болж төдийг хүртэл сурлага сайтай байсан Галуа математикаас өөр юм тоохоо больж, бусад хичээлүүдээ ташираар нь хаях хүртлээ хүндэрч гэнэ. Явсаар Галуагийн математикийн хүсэл шунал, дур тачаалыг багш нар нь ч хангаж дийлэхээ байж, тэрээр хувиараа мэргэжлийн математикчидын судалгааг хээв нэг сонирхох болж, бие даан математикт шамдан суралцав. Багш нар нь Галуагийн эцэг эхэд нь ийм зөвлөгөө өгсөн гэдэг.

- Галуа нэгэнт математикийн солио тусчээ. Түүнд математикаас өөр хичээл хийлгэсний хэрэггүй болов уу.

Түүний дараа, Галуа Францийн хамгийн алдартай сургуульд элсэлт өгнө. Тэргүүн зэргийн математикт суралцая л гэвэл түүнээс бусад нь даанч гологдохоор тэрхүү сургууль болбоос элсэн ороход даанч дэндүү чанга гэх боловч, Галуагийн авьяас билгийг бариад очвол үнэндээ юм болох учир байсангүй. Гэтэл чухам тэр авьяас билиг нь өөрөө асуудал болох нь тэр. Түүний эгэл бус авьяас нь, түүний зан авирыг дээрэнгүй бардам болгож орхижээ.

Элсэлтийн шалгалтын ярилцлага дээр дэндүү бүдүүлэг ойворгон аашилж, тэр шалтгаанаар түүнийг сургуульд элсүүлэлгүй унагачив.

Жилийн дараа Галуа дахин тэр сургуульдаа элсэлт өгнө. Галуагийн хувьд гэвэл яадаг ч бай заавал тэр сургуульд л орох хүсэлтэй. Харин тэр сургууль нь элсэлтийн шалгалтанд 2-с олон оруулахгүй гэсэн хязгаартай. Тиймээс тэр нь түүний эцсийн боломж байв.

Гэвч, тэр үед Галуад азгүй явдал тохиох нь тэр. Түүний хамгийн хайрлан хүндэлдэг хүн болох эцэг нь амиа хорлон нас барчихав.

Галуагийн эцэг нь хаан хийгээд сүмийн эрх мэдлийг үл зөвшөөрөх бүгд найрамдах үзэлтэй нэгэн байсан ба, Напелеоны 100 хоногийн эрх барих үеэр хотын дарга болсон авч, өөрийн нэр хүндээрээ тэндээсээ хусагдчилгүй тогтсоор байж. Тэгтэл тэнд нэгэн сүмийн хуврага ирж тээг болсон хотын даргыг авч хаяхаар нэгэн шившигт шүлгийг түүний бичгийн хэлбэрийг нь дуурайлган бичээд, хотын даргын зохиосон шүлэг гээд зарлаж гарчээ. Тэр явдалд ихэд эмзэглэн шархалсан эцэг нь эцэстээ амиа хорлоод дуусав. Харин оршуулгынх нь үеэр хуврагын найруулсан хор болохыг анзаарсан иргэд сүм рүү халдан довтолж, цус асгарсан үймээн хүртэл дэгдээд авчээ. Энэ бүхнийг харсан Галуагийн хувьд түүнээс хойш хаант засаг хийгээд сүм хийдэд ой нь гутаж, бүх насаараа үзэн ядсан гэдэг.

Ингээд хамгийн азгүй нь гэвэл тэр явдлаас хэдхэн хоногийн дараа элсэлтийн шалгалт болох байв. Эцгийнхээ үхлийн цочирдлоос мултарч амжаагүй Галуа бас дахин ярилцлага дээр асуудал тарьж орхино. Ярилцлагадаа бүтэлгүйтсэн Галуа уураа барьж тэсэлгүй шалгалт авсан багш руу самбар арчигч шидэж орхитол, яг байндаа буусан гэдэг.

Мэдээж хэрэг, 2 дахь шалтгалт ч бас л муу мэдээгээр төгсөж, түүний хүссэн сургуульдаа орох зам бүрэн хаагдах нь тэр.

Гээд Галуа гаргуундаа гараад шууд дуусчихсангүй. Түүнд өөрийнхөө математикийн авьяастаа итгэх бат итгэл байлаа. Угаас сургуульд орохгүй байлаа ч математикч болох зам ахиад өчнөөн бий. Мэргэжлийн математикчийн эрүү нь мултрахаар час хийсэн ажил нэгийг бичиж үзүүлээд, хүрээлэнд хүлээн зөвшөөрүүлчихэд л хангалттай. Ингээд Галуа өөрийгөө бусдад таниулахаар, тухайн үедээ мэргэжлийнхний анхаарлын бай болоод байсан “5 зэргийн олон гишүүнтийн ерөнхий томъёо”-ны судалгаанд шумбан оров. Тэгээд эцэст нь судалгааныхаа үр дүнг хүрээлэнд илгээжээ.

Тэгтэл тэрийг нь хариуцан авсан хүн нь бас л мөнөөх Коши болж таарав. Коши өмнө нь Абелийн материалыг үрэгдүүлж байснаа бас дахин давтаж орхих нь тэр. Аргагүйдсэн Галуа дахин судалгаагаа эмхэтгээд дахин хүрээлэнд илгээсэн боловч, энэ удаад түүнийг нь хүлээж авсан Фурьер гэртээ аваачиж тавингуутаа гэнэт нас барж, ахиад материал нь үрэгдэж орхино.

Байж боломгүй азгүйтэлд дараалан өртсөн Галуа тэгээд ч шантарсангүй, 3 дахь удаагаа судалгаагаа бичээд явуулав. Харин энэ удаа хүрээлэнгээс хэдэн сарын турш таг чиг байдал хэсэг үргэлжлэв.

Үүнд тэсэрсэн нь Галуа бус, харин түүний найз Шевалье байв. Шевалье, хоёр ч удаа материал гээж үрэгдүүлээд, 3 дахь дээрээ хариу ч гүй сураг ч гүй болсон хүрээлэнд хандаж, хариуцсан хүмүүсийн нэрсийг зарлаж, хариуцлага тооцохыг шаардсан нийтлэл сонинд хэвлүүлэхээр зүтгүүлнэ. Энэ бүхний үр дүнд хүрээлэн арай чүү хүнд бөгсөө хөдөлгөн, хэрэг явдлыг эргэн харсан боловч, түүний эцсийн хариу Галуагийг нэг мөр дэлсээд хаячихав.

- Галуагийн баталгаа тодорхой бус, гаргалгаа нь хангалттай дэлгэрэнгүй биш тул шалгах боломжгүй.

Эцсийн эцэст хүрээлэнгээс гарсан шийдвэр нь, хэт шинэлэг Галуагийн эрдмийн ажлыг “ойлгох боломжгүй учраас хүлээн авахгүй” гэсэн үг байв.

Сургуулийн шалгалтанд бүдэрч, хийсэн судалгаа нь хүрээлэнд хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй гэх бүтэлгүйтэлд ээлжлэн дайруулсан Галуагийн сэтгэл санаа бага багаар догширч байлаа. Фурьерийн сүүлчийн теоремын баталгаанд тусалсан эмэгтэй математикч Софи, Галуагийн талаар ийм нэгэн захиа бичсэн байдаг.

- Фурьерийн гэнэтийн үхэл (судалгааны ажил нь алга болсон явдал) Галуагийн амьдралд том цохилт болсон. Хэдэр зантай ч гайхалтай авьяастай тэр хүү энэ чигээрээ явбал гарцаагүй галзуурна. Ийм мундаг хүүг энэ чигт нь алдчина гэхээс..., би үнэхээр айж байна.

Гэвч, Софигийн санаа зовнилыг үл харгалзан Галуагийн амьдрал улам бүр утгаа алдсаар байв. Түүнд үлдсэн юм гэвэл ердөө л өөрийг нь хүлээн зөвшөөрөхгүй нийгэм, тэгээд эцгийг нь алсан хаант засаг сүм хийдүүдэд хандах үзэн ядалт л байлаа. Тиймдээ ч Галуа хэт даврагч хувьсгалт хөдөлгөөнүүдэд биеэ зориулах болж, эцэстээ улс төрийн гэмт хэрэгтэн болж шоронд сууж, удалгүй суллагдсан хэдий ч, архинд автаж хүндрэхдээ амиа хүртэл хорлохоор завдах болов. Тэр үеийн сэтгэл санаагаа Галуа ийн илчилж бичсэн байдаг.

- Надад одоо юу дутагдаж байна гээч? Надад дутагдаж байгаа юм бол, сэтгэл зүрхнээсээ хайрлаж чадах тийм хүн дутагдаж байна. Би аавыгаа алдсан. Аавыг минь орлох хүн надад өөр хэн ч алга.

Тэгэвч, тийм Галуа ч гэлээ нэгэн цагт түүнд “сэтгэл зүрхнээсээ хайрлахуйц нэгэн” гарч ирнэ. Стефани хэмээх бүсгүй байв. Галуа түүнд сэтгэлээ өгч, бүсгүй түүнийг аврах учиртай байлаа. Гэсэн ч Галуа бол эцсийн эцэст азгүйтэх гэж л төрсөн хүн. Тэр бүсгүй нь нэгэнт сүй тавьсан байж. Тэгээд сүйт хархүү нь Галуаг дуэльд дуудаж орхих нь тэр. Нэмээд тэр залуу нь угаас Францдаа толгой цохих буу эзэмшигч нэгэн байж таарав.

Дуэльд Галуа ялагдах нь зурагтаар кино үзэх мэт тов тодорхой нүдэнд харагдаж байлаа. Гэсэн ч Галуа зугатсангүй. Тухайн үеийн Францад дуэль гээч юм өдөр тутам болдог зүйл байсан ба, нэр хүнддээ анхаарах залуу хүний хувиар Галуа түүнээс зайлсхийх арга байсангүй. Үгүй ээ, эсрэгээрээ 20-хон насандаа хамгаа алдсан залуу нэгэнт өөрийгөө хөсөр хаясан ч байж мэдэх. Галуа дуэлийг хүлээн авч, өглөө эртлэн дуэль болох газар тийш явахаар шийдээд байв. Ингээд дуэлийн өмнөх шөнийг, өөрийн амьдралын сүүлчийн шөнөө өнгөрүүлэх болно.

“Маргааш үхэх биз” гэж бодох залуу сүүлчийн шөнөө хэрхэн өнгөрөөх байсан бол? Үнэнийг хэлбэл, бүхнээ алдсан Галуа ч гэлээ, түүний сэтгэлийн мухарт цор ганц нэгэн зовнил үлдээд байж. Тэр нь юу гэвэл, өөрийнх нь үхэлтэй хамт математикийн үр дүнгүүд нь ч бас арилна гэх айдас байв. Ингээд Галуа шөнийн турш сууж сүүлчийн эрдмийн ажлаа бичихээр болно. Тэрээр амьдралынхаа сүүлчийн хормыг ашиглаад, өөрт байх математикийн бүхнээ бичиж үлдээхээр шийджээ.

Гэвч, цаг даанч давчуу байлаа. Тиймээс цагт хөөгдөн байж бичсэн тэр юм нь эрдмийн ажил гэхээсээ илүү ноорог тэмдэглэл гэхээр юм болж орхив. Дээр нь аль ч хуудас нь сандарч бичсэндээ алдсан алдаагаа засаж дарсан зураасаар дүүрсэн учир нь олдохгүй юм болж, энд тэнд булан зайд “яанаа, цаг дууслаа”, “Стефани!” гэх зэрэг сэтгэлийн хөдөлгөөнүүд ч бичээтэй харагдана.

Угаас хэдэн жилийн турш хуримтлагдсан судалгаагаа ганц шөнийн дотор бичиж илэрхийлнэ гэдэг өөрөө бүтэшгүй явдал юм. Гэсэн ч Галуа байдаг чадлаараа, өөрийн доторх математикаа, өөрийн амьдарч явсан ул мөрөө тэнд сийлэн үлдээжээ.

Гэтэл өдийг хүртэл Галуа юу ч бичлээ гээд бусдад үл тоогдсоор ирсэн бус уу? Тиймээс тэгэн тэгэн байж дахиж юм бичлээ гээд, бас л хэн нэгэнд гээгдээ ч юм билүү, гэх айдас Галуад байгаагүй юм гэж үү?

Үгүй ээ, түүнд цор ганц итгэж болох нэгэн анд байсан юм. Тэр бол хүрээлэнгийн материал гээгдүүлсэн хэрэг явдлыг өөрийн явдал мэт хүлээн авч, хүрээлэнд хариуцлага хүртэл хүлээлгэсэн найз Шевалье нь байв. Галуа түүнд итгэж байлаа. Тэр л ажлыг минь хоёргүй сэтгэлээр харж хандана. Галуа найздаа өөрийн бичвэрээ дайхаар шийджээ.

- Энэ ажлыг минь зөв буруу эсэхийг бус, чухал эсэхийг нь Гаусс, Якоби нараас асууж өгөөрэй.

Галуагийм захиа бичиж Шевальед илгээгээд дуэль тийш явав. Тэгээд дуэльд ялагдсан Галуа гэдсэндээ буудуулж, тэр чигтээ орхигдсоноор амьсгал хураах нь тэр. Түүний сүүлчийн үг нь өөр дээр нь гүйн ирсэн дүүдээ хандан хэлсэн үг байв.

- Аа, битгий уйлаач дээ. Би яг одоо 20 насандаа үхэхийн төлөө байдаг зориг тэвчээрээ дайчлах хэрэгтэй байна.

Галуаг нас барсны хойно, эх бичвэрийг даатгагдсан Шевалье түүний хуулбарыг нь Гаусс зэрэг суут математикчид руу илгээв. Гэвч Галуагийн таталган бичсэн ажлыг нь хэн ч ойлгож чадсангүй. Үнэндээ, тэр ажил нь дуэлийн өмнөх шөнө хэмээх сэтгэлзүйн хувьд хэрхэвч хэвийн бус төлөвтөө бичсэн зүйлийг ч хэлэх үү, бодитоор Галуа уймарч самраад ердийн нэг галзуу хүний тэмдэглэл бичсэн байхыг ч үгүйсгэх аргагүй. Тэгж эргэлзлээ гээд даанч арга байхгүй биз.

Гэсэн ч Шевалье Галуад итгэж байлаа. Тэрээр бичвэрүүдийг нь ширхэгчлэн уншиж тодруулан, түүнийгээ нямбайлан эмхэтгэж гарав. Ийнхүү Шевальен эмхэтгэсэн эрдмийн ажил математикчидын дунд бага багаар тархан дэлгэрч, явсаар Галуагийн гэрээсийг судлах математикч хүртэл гарч ирэв.

Тэр бол түүнийг үхсэнээс 14 жилийн дараах явдал байлаа. Математикч Лиувилль Галуагийн ажлыг судалж, үр дүнгээ нийтэд зарлаж, тэр нь маш том харанга болон цуурайтав. Учир нь гэвэл, Лиувиллийн илтгэлийн агуулга нь “Хариутай тэгшитгэл болон хариугүй тэгшитгэлийг ялгах арга”, тэгээд “Хариутай тэгшитгэлийн хувьд, хариуг нь олох арга”-ыг тов тодорхой томъёолон үзүүлсэн байжээ.

Тиймээ, Галуагийн сүүлчийн үлдээсэн ажил нь “тэгшитгэлийн хариуны томъёо”-ны шинж чанарыг бүрэн ил гаргасан гайхалтай онол байсан юм. Ийнхүү 5-с дээш зэргийн олон гишүүнт тэгшитгэлийн томъёонууд бүгд тодорхой болж, n зэргийн олон гишүүнтийг тойрсон математикчидын их аян нэгэн оргилыг эзэлсэн нь тэр байлаа. Тэр аянд хамгийн том гавъяа байгуулсан нь Абель болон Галуа боловч, тэд тэрхүү бүтээлээсээ илүүтэйгээр “математикийн түүхэн дэхь хамгийн азгүй математикч” гэдгээрээ нэр нь танигдсан хүмүүс юм...

Гэвч, үнэхээр тэд гарцаагүй азгүй хүмүүс юм гэж үү?

Нээрээ ч, өөрийн авьяас билгээ нийтэд хүлээн зөвшөөрүүлж амжилгүй ид залуугаараа халин одсоныг нь бодвол, тэд үнэхээр азгүй мэт. Гэлээ ч, бүр ор тас азгүй хүмүүс гэж арай л бодомгүй. Тийм биш гэж үү? Тэд өөрсдийн богинохон амьдралдаа үнэн сэтгэлээсээ итгэн хандаж болохуйц, гэрээсээ өвлүүлж үлдээхүйц үнэнч найзыг олж чадсан байна бус уу? Чухам үүнээс эрхэм дээд аз гэж амьдралд өөр юу байх билээ...